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成考專升本高數二第一章筆記

時間: 2013年02月04日 來源:不詳 作者: 佚名

第一章            函數、極限和連續

§1.1  函數

一、                  主要內容

㈠ 函數的概念

 1. 函數的定義:   y=f(x),   xD

定義域: D(f),     值域: Z(f).

2.分段函數:

3.隱函數:   F(x,y)= 0

4.反函數:   y=f(x) x=φ(y)=f-1(y)

            y=f-1 (x)

定理:如果函數: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y

     是嚴格單調增加(或減少)的;

     則它必定存在反函數:

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X

且也是嚴格單調增加(或減少)的。   

㈡ 函數的幾何特性

1.函數的單調性: y=f(x),xD,x1、x2D

  x1x2,f(x1)f(x2),

則稱f(x)D內單調增加(  );

f(x1)f(x2),

則稱f(x)D內單調減少(  );

    f(x1)f(x2),

則稱f(x)D內嚴格單調增加(  );

f(x1)f(x2),

則稱f(x)D內嚴格單調減少(  )。

 

 2.函數的奇偶性:D(f)關于原點對稱

   偶函數:f(-x)=f(x)

   奇函數:f(-x)=-f(x)

 

 3.函數的周期性:

   周期函數:f(x+T)=f(x), x(-∞,+)

   周期:T——最小的正數

 4.函數的有界性: |f(x)|M , x(a,b)

 

㈢ 基本初等函數

1.常數函數: y=c ,  (c為常數)

2.冪函數:   y=xn ,   (n為實數)

3.指數函數: y=ax , (a0、a1)

4.對數函數: y=loga x ,(a0、a1)

5.三角函數: y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

6.反三角函數:y=arcsin x, y=arccon x

              y=arctan x, y=arccot x

㈣ 復合函數和初等函數

1.復合函數: y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] ,  xX

 

2.初等函數:

  由基本初等函數經過有限次的四則運算(加、減、乘、除)和復合所構成的,并且能用一個數學式子表示的函數。

 

二、  例題分析

例1.  求下列函數的定義域:

:對于 : 0  解得: ≠±1

   對于 : 0        ≥-2

的定義域:

 

: 得:   ,解得:

    得:  0  ,   2

的定義域:

 

2.f(x)的定義域為(-1,1

f(x+1) 的定義域為

 A.(-2,0),  B.(-1,1),  C.(0,2),  D.[0,2]  [  ]

解:∵-1x+11    -2x0

f(x+1) 的定義域為: x(-2,0)

應選A.

 

 

 

 

3.下列f(x)g(x)是相同函數的為

A. ,      

B. , 

C. ,

D. ,      [  ]

 

解:A. ,

B. ,    

 

          應選B

C. ,

D. ,

 

4. ,

的反函數及其定義域。

解:∵ ,

,

∵在(-3,+)內,函數是嚴格單調的

∴反函數:

        

 

5.

則其反函數            。

解:

   是嚴格單調增加的

  又∵      ∴取

  即:

   (應填

 

6.設函數 是定義在

同一區間 上的兩個偶函數,

   函數。

解:設

       =  

是偶函數    (應填“偶”)

 

7. 判斷 的奇偶性。

:

         

         

         

         

         

為奇函數

 

8.  ,

的周期為      。

解法一: 的周期為T,

       

        =

 

,    

 

解法二:∵

                 (應填 )

 

9. 指出函數 那是由些簡

     單函數復合而成的?

解: ,

       ,  

,      

  是由: , , ,

復合而成的。

 

10. 已知 , 等于

      A. ,  B. ,  C. ,  D.   [  ]

:

    (應選A

 

11. 已知

的表達式。

:

解得

  

 

§1.2

一、                 主要內容

㈠極限的概念

1.        數列的極限:

稱數列 以常數A為極限;

或稱數列 收斂于A.

 

定理: 的極限存在 必定有界.

 

2.函數的極限:

 ⑴當 時, 的極限:

 

⑵當 時, 的極限:

 

  左極限:

  右極限:

⑶函數極限存的充要條件:

定理:

 

㈡無窮大量和無窮小量

1.              無窮大量:

  稱在該變化過程中 無窮大量。

  X再某個變化過程是指:

 

2.              無窮小量:

  稱在該變化過程中 無窮小量。

3.              無窮大量與無窮小量的關系:

 定理:

4.              無窮小量的比較:

 ⑴若 ,則稱β是比α較高階的無窮小量;

 ⑵若  c為常數),則稱β與α同階的無窮小量;

 ⑶若 ,則稱β與α是等價的無窮小量,記作:β~α;

 ⑷若 ,則稱β是比α較低階的無窮小量。

 

定理:若:

      則:

 

 

㈢兩面夾定理

1.               數列極限存在的判定準則:

 設:     n=1、2、3…)

 且:

 則:

2.               函數極限存在的判定準則:

 設:對于點x0的某個鄰域內的一切點

   (點x0除外)有:

 且:

 則:

 

㈣極限的運算規則

  若:

  則:①

  

 推論:①

        

 

㈤兩個重要極限

 1   

 2     

 

二、                 例題分析

例1.             求數列 的極限。

解:  

2.計算

:∵

   

 

誤解:

=0

 

 

 

 

例3.                                 下列極限存在的是

    A.    B.

C.       D.      [  ]

解:A.

B.

 

   不存在

C.               應選C

D.

  

   不存在

 

4. 時, 是等價無窮小量,

           。

解:

  (應填2)

 

5.計算   (n=1,2,3,……)

:

   

             (n=2,3,……)

   :

 

由兩面夾定理可得:

  

 

6.計算下列極限

 

:

 

 

:

  

 

 

法一: 共軛法

 

解法二: 變量替換法

   設:

時,

               

 

 

解法一:共軛法

    

 

 

解法二:變量替換法

  設:   時,

 

 ⑸ 

解法一:

          

 

解法二:∵

       

            

 

 

:設:

       時,

  

結論:

 

解法一:∵

      

        

        

 

解法二:∵

解法三:應用羅必塔法則

       

 

 

 

解法一

          

          

          

          

 

解法二:

時,

 

解法三

       

 

7. 時,若 為等價無窮小量,

則必有    。

解:∵

                      (應填

結論:

 

8. ,則    。

解:

                         (應填

 

9.已知 ,求 的值。

解:

   

 

∴當 時,原式成立。

 

10.證明:當 時, 是等價

無窮小量。

證:只要證明  成立,即可。

    設:

        時,

結論:

 

§1.3 連續

一、                        主要內容

函數的連續性

1.        函數在 處連續: 的鄰域內有定義,

   1o

   2o

   左連續:

   右連續:

 

2.        函數在 處連續的必要條件:

 定理: 處連續 處極限存在

 

3.    函數在 處連續的充要條件:

 定理:

4.        函數在 上連續:

   上每一點都連續。

   在端點 連續是指:

     左端點右連續;

      右端點左連續。

    

                a+   0    b-       x

5.    函數的間斷點:

處不連續,則 的間斷點。

 

間斷點有三種情況:

 1o 處無定義;

 2o 不存在;

 

3o 處有定義,且 存在,

   。

  兩類間斷點的判斷:

  1o第一類間斷點:

特點: 都存在。

可去間斷點 存在,但

,或 處無定義。

  2o第二類間斷點:

特點: 至少有一個為∞,

      振蕩不存在。

無窮間斷點 至少有一個為∞

 

㈡函數在 處連續的性質

1.                    連續函數的四則運算:

  ,

  1o

  2o

  3o      

2.                    復合函數的連續性:

  

    

   則:

3.                    反函數的連續性:

  

  

㈢函數在 上連續的性質

 1.最大值與最小值定理:

上連續 上一定存在最大值與最小值。

   y                                                  y

 

  +M                                                  M

 

                              f(x)                                             f(x)

 


 

   

   0  a                              b      x

                                                       m

 

  -M

                                                        0     a                          b          x

 

2.        有界定理:

   上連續 上一定

有界。

 

 

 

 

 

 

 3.介值定理:

  上連續 內至少存在一點

                      ,使得: , 

其中:

   y                                                    y         

 


 

   M    

                                 f(x)

   C                                                                    f(x)

 

                                                    

                                                        0    a        ξ              b           x

 

   m

 

   0    a    ξ1                 ξ2    b       x

 

 

 

   推論:

   上連續,且 異號

    內至少存在一點 ,使得: 。

 

 4.初等函數的連續性:

   初等函數在其定域區間內都是連續的。

 

三、                 例題分析

例1.              分段函數 ,

處是否連續?

解:

   

   

  由函數連續的充要條件定理可知:

   處連續。

 

 

 

2設函數 ,試確定常數k的值,使 在定義域內連續。

解: 的定義域為:

   時,

   是初等函數,在 有定義

∴不論k為何值, 內都是連續的。

   時,

  是初等函數,在 有定義

∴不論k為何值, 內都是連續的。

   時,

    

(無窮小量乘以有界函數還等于無窮小量)

∴只有當 時, 處連續,

∴只有當 時, 在定義域內連續。

 

3.證明方程 至少有一個根在12之間。

證:設 ,

   上連續

  滿足介值定理推論的條件。由定理可得:

內至少存在一點ξ,使得 ;

  即:在12之間至少有一個根 。

 

 

例4.                                 討論函數 的間斷點。

解: 的定義域為:

           處無定義;

  是函數的間斷點。

若補充定義: ,則函數在 連續;

  函數的可去間斷點。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.討論函數 的間斷點。

解:

   的定義域為:

   時,函數無定義,

  是函數的間斷點;

  若補充定義: ,則函數在 處連續;

  是可去間斷點。

  

  是無窮間斷點。

 

 

 

 


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